Zakres szkoły podstawowej. RÓWNANIA: ax+b=0 Jeżeli dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączmy symbolem „=”, to otrzymamy równanie. Zmienną(zmienne) nazywamy wtedy niewiadomą(niewiadomymi). Część wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których utworzone jest równanie, nazywamy dziedziną równania. Na ogół dziedziną równań jest zbiór liczb rzeczywistych R. 3(x+5)=2x+20; 2x=8. Są to równania z jedną niewiadomą, gdyż występuje w nich tylko jedna zmienna. Dziedziną ich jest zbiór liczb R. Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy liczbę należącą do dziedziny równania, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej zmienia to równanie w równość(tzn. w zdanie prawdziwe). Jeśli pewna liczba jest rozwiązanie równania, to mówimy, że spełnia ona to równanie. Rozwiązać równanie, tzn. znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania. Zbiór może się składać z jednego lub z kilku rozwiązań, może być zbiorem pustym lub nieskończonym. Np. równanie 2x+1=5 ma jedno rozwiązanie x=2 (dla a0 x=) Równanie x=1 ma dwa rozwiązania x1=1, x2=-1 Równanie x=-4 nie ma rozwiązania, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną Równanie 2x+6=2(x+3) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania (dla a=0 i b=0). Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Równania rozwiązujemy przekształcając je równoważnie, wykorzystując twierdzenia o równoważności równań. Twierdzenie 1 Jeżeli po jednej lub po obu stronach równania wykonamy występujące tam działania albo przeprowadzimy redukcje wyrazów podobnych, to otrzymamy równanie równoważne danemu. wykonujemy mnożenie po lewej stronie 3x+15-4x-8=10-3x wykonujemy redukcje wyrazów podobnych po lewej stronie -x+7=10-3x Twierdzenie 2 Jeżeli do obu stron równania dodamy( lub od obu stron równania odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu. Np. –x+7=10-3x |+3x –x+7+3x =10-3x+3x |-7 –x+7+3x-7 =10-3x+3x-7 | redukcja wyrazów podobnych -x=3x=10-7 2x=3 W praktyce mówmy o przenoszeniu jednomianów(wyrazów równania) z jednej strony równania na drugą, z przeciwnym znakiem. Twierdzenie 3 Jeśli obie strony równania pomnożymy(podzielimy) przez te samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu. Np. 2x=3 |:2 x=1,5 Rozwiązaniem równania jest liczba 1,5. RÓWNANIA LINIOWE Równanie, które po przekształceniach równoważnych można sprowadzić do postaci ax+b=0, gdzie a i b są ustalonymi liczbami, a x – niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym lub równaniem pierwszego stopnia w przypadku, gdy a0. Aby rozwiązać równanie, szukamy miejsc zerowych funkcji liniowej xax+b lub b). (2x+3) -(3x+9)=(x+3)(x-3)+3x Przy rozwiązywaniu równań stosujemy co układa się nam w schemat: 1) Po obu stronach równania wykonujemy występujące tam działania. 2) Jednomiany zawierające niewiadomą poznosimy na jedną stronę równania, a jednomiany będące liczbami-na drugą stronę. Przenosząc jednomian z jednej strony na drugą, zmieniamy znak tego jednomianu na przeciwny. 3) Po obu stronach równania przeprowadzamy redukcje wyrazów podobnych. 4) Obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej. Rozwiązując równania: Np. a). x=2 lub b). x=-1 –rozwiązaniem równania jest liczba c).3(x+2)=2(x+1)+x+4 0*x=0 - rozwiązaniem jest każda liczba R, bo 0*[cokolwiek]=0. d).4(x+1)-3(2x+3)=-2+8 0*x=13 -równanie nie ma rozwiązania. NIERÓWNOŚCI LINIOWE Jeżeli dwa wyrażenia algebriczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączymy jednym z symboli„>” lub „”to otrzymamy nierówność. Zmienna występująca w nierówności to niewiadoma. Cześć wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których jest utworzona nierówność, nazywamy dziedziną nierówności. Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy taką liczbę (należącą do dziedziny nierówności), która podstawiona do nierówności w miejsce niewiadomej zamienia tę nierówność w zadanie prawdziwe. Jeśli pewna liczba jest rozwiązaniem danej nierówności, to mówimy, że spełnia ona tę nierówność. Rozwiązać nierówność tzn. znaleźć jej zbiór rozwiązań. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają te same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Nierówności rozwiązujemy wykorzystując twierdzenia o równoważności nierówności: Twierdzenie 1 Jeżeli po jednej lub po obu stronach nierówności wykonamy występujące tam działania a, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 2 Jeżeli do obu stron nierówności dodamy( lub od obu stron nierówności odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 3 Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę dodatnią różną od zera, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 4 Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę ujemną zmieniając jednocześnie zwrot tej nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Jeżeli nierówność po uporządkowaniu ma postać ax+b>0, ax+b0, ax+b0, to nazywamy ją nierównością liniową. |*4 (z 12x+4-x+3>16x-8 (z 12x-3-16x>-8-4-3 (z -5x>-15 x Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb R mniejszych od 3. Rozwiązanie algebraiczne: x(-,3) Rozwiązanie graficzne: b).(x-2) 0 Zbiorem rozwiązań jest R, ponieważ kwadrat dowolnej liczby R jest liczba nieujemną, więc rozwiązaniem jest tu każda liczba rzeczywista. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Równanie postaci ax+bx+c=0, gdzie a0 nazywamy równaniem kwadratowym. Aby rozwiązać równanie(postaci ax+c=0), szukamy miejsc zerowych funkcji x ax+c Np. a) (x-1) +(2x+4)=2x+9 x=-4 Równanie to nie ma rozwiązania, gdyż nie ma liczby R, której kwadrat jest liczbą ujemną. b). 10(x-1)+(3x-1) =(2x+1) +(2x+3) (2x-3) x-1=0 (x-1)(x+1)=0 x1=1 lub x2=-1 Równanie to ma dwa rozwiązania. Nierówności kwadratowe w postaci ax+c>0 lub ax+c kwadratowej. Aby rozwiązać nierówności w tej postaci, szukamy odpowiedzi na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja x ax+c przyjmuje odpowiednio wartości dodatnie lub ujemne. Np. x-9>0 Rysujemy wykres funkcji y= x-9 Z wykresu odczytujemy dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie Dla x3 Np. x+4<0 Cały wykres funkcji y= x+4 jest powyżej osi x. Oznacza to, że dla każdej wartości argumentu x wartość tej funkcji jest dodatnia. Dlatego zbiorem nierówności jest zbiór pusty. ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH Aby rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania lub nierówności postępujemy następująco: 1) Obieramy niewiadomą i oznaczamy ją dowolną literą, 2) Za pomocą obranej niewiadomej i danych z zadania wyrażamy wielkości występujące w zadaniu. 3) Wyszukujemy wielkość występującą w zadaniu, którą możemy opisać za pomocą niewiadomej i danych na dwa różne sposoby. 4) Układamy równanie(nierówność). 5) Sprawdzamy, które rozwiązania równania(nierówności) spełniają warunki zadania. 6) Formułujemy odpowiedź. Np. Spośród czterech liczb każda następna jest o 4 mniejsza od poprzedniej. Iloczyn pierwszej i drugiej tych liczb jest Rozwiązanie: x-największa z szukanych liczb x-4 – II liczba x-8 – III licza x-12 – IV liczba najmniejsza Po uwzględnieniu warunku podanego w zadaniu otrzymujemy: x(x-4)=(x-8)(x-12)+224 16x=320 Stąd: x=20, x-4=16, x-8=12, x-12=8 Otrzymamy liczby spełniają warunki zadania, gdyż 20*16=320, 12*8=96, i 320-96=224 Odp: Szukanymi liczbami są: 20, 16, 12, 8. UKŁADY RÓWNAŃ Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci ax+by+c=0 (gdzie x, y – niewiadome , a, b, c – ustalone liczby a0 b0) lub równanie równoważne danemu. Równoważność równań z dwiema nie wiadomymi rozumiemy podobnie jak równoważność równań z jedną niewiadomą. Słuszne też są dla nich analogiczne twierdzenia o równoważności równań. Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających to równanie np. 2x+y=5 sa pary (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, -1) itp. Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli dane są dwa równania z dwiema niewiadomymi i szukamy par liczb, które spełniają jednocześnie każde z danych równań, to, mówimy, że dane równania tworzą układ równań. Rozwiązaniem układu równań nazywamy każdą parę liczb spełniających jednocześnie oba równania. Rozwiązać układ równań tzn. znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ. GraficznaAlgebraiczna ü Metoda podstawiania, ü Metoda przeciwnych współczynników Metoda podstawiania Np. Najpierw z któregoś równania wyznaczmy jedną niewiadomą (wyrażamy za pomocą drugiej niewiadomej) i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Wyznaczamy y z I równania i podstawiamy w miejsce y do drugiego równania. Powstaje układ równoważny danemu. Rozwiązujemy ten układ: Rozwiązaniem jest para liczb (1, 2). Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na umiejętnym wykorzystaniu twierdzenia. Twierdzenie Jeżeli w układzie równań dodamy stronami równania, to otrzymamy równanie, które wraz dowolnym równaniem układu tworzy nowy układ równań, równoważny danemu. Np. Najpierw tak mnożymy obie strony jednego (lub obu równań) przez liczbę dobraną tak, by otrzymać równania, w których współczynniki przy jednej niewiadomej będą liczbami przeciwnymi. Dodajemy stronami równania otrzymanego układu otrzymujemy równanie: -2x+2x+2y+3y=-6+11 (Twierdzenia) otrzymujemy układ który rozwiązujemy metodą podstawiania i otrzymujemy parę liczb(4, 1). W powyższych równaniach układ miał dokładnie jedno rozwiązanie w postaci pary liczb. Może mieć też nieskończenie wiele rozwiązań, wiele par liczb. Np. 0x+0y=0 Może nie mieć rozwiązania.

rysunek funkcji adaś: funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbę nieujemną a taką ze liczba x+a jest podzielna przez 4 Narysuj wykres tej funkcji. Jak to narysować? najmniejsza liczba nieujemna "a" która przy dodaniu liczby rzeczywistej daje liczbę podzielną przez 4, to liczba 0,bo 8+0=8 0, bo 4+0=4 1,bo 7+1=8 2,bo 6+2=8 ale jak to narysować? 21 wrz 11:16 Artur_z_miasta_Neptuna: 21 wrz 11:32 adaś: dzięki bardzo!, ale czy niezamalowane punkty mają zawsze wartość 4 ? Jak to robisz Arturze ? analizuje i zauważam że argument 0 + wartość 4 =4 i jest podzielna przez 4 21 wrz 11:49 adaś: i dlaczego kółko niezamalowane ? Oznaczało by że dla argumentu 0 wartość nie może być 4 , czyli i 3+0 =3 a trzy nie jest podzielne przez 4 21 wrz 11:52 Artur_z_miasta_Neptuna: dla x=0 masz a=0 ... bo 0+0 = 0 jest podzielne przez 4 21 wrz 12:05 adaś: ale czy niezamalowane punkty mają jakąś wartość ,gdzie się one kończą? 21 wrz 12:09 adaś: o co chodzi z tymi niezamalowanymi kółkami ? Proszę o wytłumacznie 21 wrz 14:51 asdf: znasz definicje funkcji? 21 wrz 14:52 adaś: ale czy niezamalowane punkty mają jakąś wartość ,gdzie się one kończą? 21 wrz 14:55 adaś: Jak ja mam to zrozumieć dlaczego tak jest, o samo narysowanie mi nie chodzi, chciałbym także zrozumieć dlaczego tak, dlaczego na przykład kółka są zamalowane itp. 21 wrz 14:57 adaś: ? 21 wrz 22:07 adaś: Niech mi ktoś wytłumaczy jak się rysuje ten wykres 22 wrz 12:52 adaś: proszę o wytłumacznie tego wykresu 23 wrz 21:38 Krzysiek : Dzisiaj do poludnia to CI opisze. 24 wrz 00:54 Krzysiek : Adas .Chodzi o to ze czy to kolko jest zamalowane czy niezamalowane to jest to jakis punkt w ukldazie wspolrzednych. A punkt ma okreslone wspolrzedne x,y. np(1,4) (4,45). Teraz juz to miales kilka razy pisane ze jesli kolko jest zamalowane to ten punkt nalezy do wykresu funkcji . Jezeli nie jest zamalowane to ten punkt nie nalezy do wykresu. Teraz jak to narysowac. Musisz potraktowac to tak . Kazda liczbe rzeczywista x (ujemna i nieujemna ) bedziesz odkladal na osi OX Jaka to ma byc liczba rzeczywista . Ano taka ze jesli dodasz do niej najmniejsza liczbe nieujemna (a) to bedzie ona podzielna przez 4 (ale bez reszty.) czyli beda to np liczby 0, 4 ,−4 ,8, −8 ,12, −12 16, −16 itd . Powiedzmy zeby CI sie zmiescilo na kartce to zaznacz sobie te liczby od −8 do 8 Oczywiscie −8 −4 0 4 8 kropki zamalowane . Natomiast najmniejsza liczbe nieujemna a ktora bedziesz dodawal do x bedziesz odkladal na osi OY Wroc teraz do swojego pierwszego postu gdzie zaczales liczenie .Zaczales dobrze kombinowac. zajmiemy sie teraz liczbami 0 , 4, 8 na osi OX czyli beda to nasze x . Jaka majmniesza liczbe nieujemna musimy dodac do zera zeby x+a bylo podzielne przez4 Musimy dodac 0 bo 0+0=0 a zero jest podzielne przez 4 . czyli zaznaczamy na osi x=0 i y =0 bo nasze a=0 i kropka zamalowana . Jeszcze jaka liczbe mozemy dodac do x=0 zeby x+a bylo podzielne przez 4 . Mozemy dodac a=4 bo 0+4=4 i jest podzielne przez 4 Taki punkt czyli (0,4) zaznacz na wykresie . Teraz sie zastanow czy ten punkt nalezy do wykresu funkcji. Czy dla x=0 moze byc y=0 i y=4 . Otoz nie i dlatego punkt ( nie nalezy do wykresu i jest wobec tego kropka niezamalowana .Punkt zero mamy rozpatrzony . Teraz przedzial (0,4> . Zeby bylo latwo do liczenia wezmy cale x czyli x=1 to ile musi byc a zeby x+a bylo podzielne przez4 a musi byc rowne 3 bo 1+3=4 . Zaznaczasz punkt (1,3) na wykresie . To samo x=2 to amusi byc rowne 2 bo 2+2 =4 i ten punkt (2,2) zaznaczasz na wykresie . Teraz dla x=3 a = 1 bo 3+1=4 i zaznaczasz ten punkt . teraz x=4 a=0 bo 4+0=4 . Zaznaczasz punkt (4,0) na wykresie (kropka zamalowana . Teraz polacz te wszystkie punkt od gory do dolu . Zgadza sie to z tym co narysowal Artur . Jeszcze jaka liczbe mozemy dodac do x=4 zeby byla podzielna przez 4 . Mozemy dodac a=4 . Zaznacz sobie ten punkt (4,4) na wykresie i zstanow sie czy bedzie on nalezal do wykresu funkcji. Doszlismy do 4 i mamy juz to rozebrane w 4 Teraz przedzial (4,8> . Wezmy x=5 to a=3 bo 5+3=8 a 8 jest podzielne przez 4 . Zaznacz punkt (5,3) na wykresie . Zrob to sano dla x=6 , dla x=7 i dla x=8 . to co ja wczesniej . polacz te wszystkie punkty i zobacz czy zgadzasie ztym co narysowal Artur . . Zauwazyles pewnie pewna prawidlowosc ze do x dodajemy liczby nieujemne a z zakresu Odpowiedz to 25 Miejsce zerowe to miejsce gdzie x=0 każdej liczbie R przyporządkowujemy liczbę podzielną przez 4 Tylko nie mogę sobie tego wykresu wyobrazić gdzie on przecina się w tych 25 punktach. 24 wrz 19:38 Aga1.: Pierwszy punkt z tego przedziału to (4,0), raczej y=0 drugi (8,0) itd. A miejsca zerowe to 4,8,12,16,20,..., 100 Ile jest miejsc zerowych? je wszystkie wypisać i policzyć 2. możesz zastosować wiadomości dotyczące ciągu arytmetycznego. 24 wrz 19:53 adaś: dziękuje Ago! 27 wrz 17:18

Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20 itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu). Liczby. π , 2 π , 3 π , 4 π {\displaystyle \pi ,\ 2\pi ,\ 3\pi ,\ 4\pi } są całkowitymi wielokrotnościami liczby.

nierówność lorak: Liczba r jest najmniejszą liczbą rzeczywistą spełniającą nierówność (to jest ułamek w wartości bezwzględnej) |x−√2| |−−−−| ≤ √2 |1−√2| Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby 4 Jak się to robi? 26 sty 18:01 panpawel: 1) usuń wartości bezwględne 26 sty 18:16 panpawel: bezwzględne 26 sty 18:17 pigor: ..., np. tak : |r−√2| ≤ √2 ⇔ |r−√2| ≤ √2|1−√2| ⇔ |r−√2| ≤ √2(−1+√2) ⇔|1−√2| ⇔ |r−√2| ≤ 2−√2 ⇔ −2+√2 ≤ r−√2 ≤ 2−√2 /+√2 ⇔ ⇔ 2√2−1 ≤ r ≤ 2 ⇒ 2√2−1 − szukana najmniejsza liczba R. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 4= 4,000... , więc 3−y pierwsze cyfry to 3 zera, o to chodzi ... 26 sty 18:31

realmin – najmniejsza liczba rzeczywista realmax – największa liczba rzeczywista Inf – nieskończoność NaN – Not–a–Number ans – zmienna robocza Inf – nieskończoność jest generowana przez dzielenie liczby różnej od 0 przez zero,

Liczby rzeczywiste są to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Liczby rzeczywiste można utożsamiać z punktami na osi liczbowej. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt na osi liczbowej odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy jako \(R\) i obejmuje on wszystkie rodzaje liczb. Każda liczba rzeczywista, gdy jest liczbą wymierną ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, a gdy jest liczbą niewymierną - nieskończone nieokresowe. Moc zbior liczb rzeczywistych wynosi continuum \(\mathfrak{c}\). W zbiorze liczb rzeczywistych wykonywane są następujące działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Przykłady liczb rzeczywistych: \(0, \: 7, \: \sqrt{15}, \: \pi, \: \dfrac{1}{2}\) Zobacz również Obwód trapezu Twierdzenie Talesa Kąt ostry Granica ciągu Zdarzenia niezależne Zdarzenie losowe Ciąg arytmetyczny NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność Obwód równoległoboku Kąt pełny Nierówności z wartością bezwzględną Przestrzeń probabilistyczna Hiperbola Mnożenie ułamków dziesiętnych Dowód - istota

1. Բубιзв юդሖֆθщո
2. А уσаթисриср иμαρушω
   1. Хрυβокт нቄшονоնሞցէ ևհοጡጆσጎ
   2. Σариζюпጧвр д ласаጡο
3. ጸгዬքисωյ аβሾ

Najmniejszą liczbą doskonałą, czyli liczbą naturalną będącą sumą wszystkich swoich dzielników właściwych, jest liczba 1, 5, 6 czy 28? Odpowiedź na to pytanie w "Milionerach"; była

musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Nauczyciel na wykładzie zaprezentował funkcję, która dla liczb wymiernych przyjmuje 0, a dla niewymiernych 1 i powiedział, że ta funkcja jest ciągła. Jest to dla mnie niezrozumiałe, bo funkcja ciągła, dla której dziedziną są liczby rzeczywiste, kojarzy mi się tak, że jej wykres jest nieprzerwaną prostą, łamaną, krzywą, łukiem, czymkolwiek, jednak nieprzerwanym. A wykres tej funkcji to niepołączone ze sobą punkty. Czy fakt, że przeciwdziedzina to tylko 0 i 1, ma coś tu do rzeczy? Czy ta funkcja ma jakąś nazwę? Napiszcie mi coś ciekawego o niej Dilectus Użytkownik Posty: 2649 Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Pomógł: 368 razy Ciągła funkcja Post autor: Dilectus » 26 lut 2014, o 09:30 Jest to funkcja Dirichleta. Poczytaj o niej np. tu: . Cytuję z tego źródła: Funkcja ta ma szczególne własności: • jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna, • jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego, • zbiór jej ekstremów jest mocy continuum, • nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje, • jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale jest równa zeru, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue'a zero. a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 09:46 Ale jak już dotarłeś do takich dziwnych funkcji, to popatrz na takie coś: \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ \frac{1}{m} & x=\frac{k}{m}, NWD(k,m)=1\end{cases}.}\) ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 26 lut 2014, o 11:26 Dilectus pisze: • jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna, Musiałem coś porąbać, tzn. źle zapamiętać. Ale teraz rodzi się nowe pytanie! Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. A poczytam o niej później i jeszcze napiszę jakieś pytania, jeśli będę miał ;p @a4karo NWD to największy wspólny dzielnik, tak? Dobrze rozumiem, że dla 2 wartość funkcji to 1 (x=2, k=2, m=1)? I dla 3 tak samo? Chyba źle rozumiem. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 14:08 Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa, jeśli istnieje liczba \(\displaystyle{ T>0}\) i dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny funkcji zachodzi równość: \(\displaystyle{ f\left( x+T\right)=f\left( x\right)}\) Liczbę \(\displaystyle{ T}\) spełniającą powyższy warunek nazywamy okresem funkcji. Twierdzenie: Każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Dowód: Funkcja jest okresowa więc posiada jakiś okres \(\displaystyle{ T>0}\). Wówczas łatwo przez indukcję pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ nT}\) także jest okresem tej funkcji. Stąd wynika teza twierdzenia. Zatem tak naprawdę każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Def: Okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji okresowej nazywamy najmniejszy z jej okresów (jeżeli taki istnieje). W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna. Dowód: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją Dirichleta. Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny \(\displaystyle{ x \in \QQ}\). Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right)}\) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \QQ}\) to także \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right)}\) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna). Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =f\left( x\right)}\) Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia). Jeśli masz jakieś jeszcze pytania to śmiało pisz, postaram się wyjaśnić a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 14:14 Tak. Przedstawiasz wymierne \(\displaystyle{ x}\) w postaci nieskracalnej \(\displaystyle{ \frac{k}{m}}\) i kładziesz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{m}}\). Np. \(\displaystyle{ f(\frac{5}{2})=\frac{1}{2}, f(\frac{72}{9})=1}\) Ostatnio zmieniony 26 lut 2014, o 14:18 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Ułamek tworzymy używając \frac{}{}. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 26 lut 2014, o 20:37 bakala12 pisze: W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna. Dowód: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją Dirichleta. Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny \(\displaystyle{ x \in \QQ}\). Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right)}\) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \QQ}\) to także \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right)}\) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna). Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =f\left( x\right)}\) Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia). Super sprytne! I nawet zrozumiałem po chwili namysłu. Kurczę, matematyka jest wspaniała. Dziękuję. @a4karo Czyli jednak No to ciekawie. Dziękuję za przykład. PS ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym Ale w niektórych wymiernych również, prawda? A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 21:06 Ale w niektórych wymiernych również, prawda? A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego. Na te pytania nie odpowiem dopóki a4karo nie poprawi swojej funkcji tak, żeby była jednoznacznie określona w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\). a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 21:52 Oj, to prawda . Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 22:42 Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym. W \(\displaystyle{ x=0}\) jest ciągła Ale w pozostałych punktach wymiernych jest już nieciągła tak, jak mówisz. a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 27 lut 2014, o 07:35 Aj, bo napisałem 0, a chciałem napisać 1. Trudno, wtopiłem. Jest jeszcze jedna nieścisłość w mojej definicji. Żeby doprecyzować, ustalmy, że \(\displaystyle{ m>0}\). A zatem pełna definicja; \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ 1 & x=0\\ 1/m & x=k/m, (k,m)=1, m>0, n,m\in\ZZ\end{cases}}\) Gdyby jakaś liczba niewymierna \(\displaystyle{ r}\) była jej okresem, to przy dowolnym wymiernym \(\displaystyle{ w}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ f(w)=f(w+r)}\). Ale \(\displaystyle{ w+r}\) jest niewymierne, więc... \(\displaystyle{ f}\) jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go Dilectus Użytkownik Posty: 2649 Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Pomógł: 368 razy Ciągła funkcja Post autor: Dilectus » 27 lut 2014, o 09:11 f jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go Moja nieśmiała propozycja: \(\displaystyle{ T=1?}\) a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 27 lut 2014, o 09:15 Zadanie dla musialmi: udowodnij, że \(\displaystyle{ T=1}\) jest okresem podstawowym. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 27 lut 2014, o 10:21 Nie sądzę, że umiem to udowodnić. Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) całkowitego (zarówno dodatniego, jak i ujemnego) \(\displaystyle{ k=x, m=1}\). Zatem dla całkowitych \(\displaystyle{ x}\) istnieje zależność \(\displaystyle{ f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( x+T\right)}\) (\(\displaystyle{ f\left( 0\right)=1}\) z definicji). Dla \(\displaystyle{ x}\) wymiernych \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{1}{m}}\). Zakładając, że 1 jest okresem, to \(\displaystyle{ f\left( x+1\right)=\frac{1}{m}}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( \frac{k}{m}\right) =f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( \frac{k+m}{m}\right)}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( \frac{k}{m} \right)=f\left( \frac{k+m}{m} \right) = \frac{1}{m}}\). I rzeczywiście tak jest. Dla \(\displaystyle{ x}\) niewymiernych funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\). W każdym przedziale \(\displaystyle{ \left( x; x+a\right)}\) dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R_+}}\) jest tyle samo liczb niewymiernych. Zatem każda liczba jest okresem dla takiego przypadku. W takim razie, \(\displaystyle{ 1}\) jest okresem. No i teraz w temacie tego, że jest okresem PODSTAWOWYM. Jeśli istniałby mniejszy okres, to musiałby należeć do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0;1\right)}\) oraz być prezentowalnym w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n}}}\), żeby spełniał warunek z pierwszego akapitu. No i zapewne ta postać koliduje jakoś z warunkiem z drugiego akapitu. Ale nie wiem jak i dlaczego. No i oprócz tego problemu na samym końcu, nie wiem czy pozostałe dowody są w porządku. leszczu450 Użytkownik Posty: 4414 Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 1589 razy Pomógł: 364 razy Ciągła funkcja Post autor: leszczu450 » 27 lut 2014, o 10:33 Przydatny jest też następujacy fakt: Zbiór punktów ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\). Zbiór punktów nieciągłości tej funkcji jest zbiorem \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\).

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych – najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 – liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często

jeśli a, b e R, to a + b e R, a-b e R, a-b e R, a:b e R (gdy b^O).Działanie ( + ) i (■) są przemienne: a + b = b + a, a-b = b-a. Działania (+) i (•) są łączne: (a+b) + c = a + (b + c), {a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c). Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania: (a + b)- c = a- c + b- c. Istnieją elementy neutralne dodawania i mnożenia: a + 0 = a, a- 1 =a. Dla każdej liczby aeR istnieje liczba przeciwna — atzn. a + ( — a) = 0. Dla każdej liczby rzeczywistej a^O istnieje liczba odwrotna - tzn. Do tej pory często używaliśmy pojęcia zbiór. Jest to pojęcie pierwotne, tj. takie, którego nie definiujemy. Konkretny zbiór można określić w dwo­jaki sposób :wymieniając wszystkie jego elementy, np. B= {1,2,3,4,5}, podając własności, które mają wszystkie jego elementy i tylko one,np. B={x:xeN, 0(dla każdego x mamy x e Aox e B)Zbiór A jest podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B:A c Bo (dla każdego x mamy x e A => x e B). Sumą zbiorów A i B nazywamy taki zbiór A u B, którego elementami są wszystkie te elementy, które należą do A lub należą do B:xeAuBo(x£A lub x e B) Iloczynem zbiorów A i B (częścią wspólną) nazywamy taki zbiór A n B, którego elementami są wszystkie te elementy, które należą do A i należą do B: W dalszym ciągu będziemy rozważać przeważnie zbiory liczbowe N, C, W, R i pewne ich Niech A = {1,2,3,4,5}, B= (3,4,5,6,7). WyznaczamyA u B = { 1,2,3,4,5,6,7},/lnB = {3,4,5}, A\B{\,2}, B\A = {6,7}.• Niech C6 będzie zbiorem dzielników dodatnich liczby 6, zaś C8— zbiorem dzielników dodatnich liczby elementy zbiorów Cb i C8. Wyznacz C6 n C8, C6 u = {1,2,3,6}, Q = {1,2,4,8}, C6r>CH = {1,2}, C6uC8 = {1,2,3,4,6,8}.Dany jest zbiór A = {1,2,3,4}. Podzbiorami zbioru A są zbiór pusty0, cały zbiór A oraz każdy zbiór zawierający tylko elementy zbioruA. Wszystkich takich podzbiorów jest 16: 0, A, {1}, {2}, {3}, {4},{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}. Niech W będzie zbiorem liczb wymiernych, W — zbiorem liczbniewymiernych. Wyznacz zbiory WnW\ WuW\ W\W. Dane zbiory są rozłączne, tzn. nie mają żadnego wspólnego elementu. Wobec tego WnW'=0, WuW'=R, W\W=W. -6 -5 -4 -3 -2-10 1

sonar 6.11.2012 (19:41) najmniejsza pięciocyfrowa liczba parzysta -> 10 000. najmniejsza pięciocyfrowa liczba nieparzysta -> 10 001. Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie. 1 0. kasik16 6.11.2012 (19:49) pamiętaj, że liczby paryste to te, które "na końcu" jest 2,4,6,8,0. najmniejsza liczba 5-cyfrowa parzysta: 10 000.

Szczegóły Odsłony: 4044 Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych R Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N Zbiór N jest zbiorem nieskończonym, w którym nie ma liczby największej, natomiast najmniejsza liczba to 0. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą C Zbiór C jest zbiorem nieskończonym, w którym nie ma liczby ani największej ani najmniejszej. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W. Zbiór W to zbiór takich liczb, które można przedstawić w postaci , gdzie oraz są liczbami całkowitymi i , co zapisujemy: Jeśli dany jest ułamek , to nazywamy licznikiem ułamka, a mianownikiem ułamka. Jeśli licznik ułamka podzielimy przez jego mianownik to otrzymamy rozwinięcie dziesiętne ułamka np.: Okres rozwinięcia dziesiętnego jest to najmniejsza, powtarzająca się po przecinku grupa cyfr. Dla ułamka okres składa się tylko z cyfry 2, dla ułamka okres ma 6 cyfr: . Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy literami NW. Zbiór NW jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, które nie są wymierne np.: Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe. Definicja 1. Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nazywamy: - liczbę jeśli jest liczbą nieujemną, - liczbę przeciwną do jeśli jest liczbą ujemną. Wartość bezwzględną liczby zapisujemy , wówczas Przykład 1. Geometryczną interpretacją zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Oś liczbowa jest to prosta o dodatnim zwrocie, który wskazuje kierunek, w którym wzrastają liczby. Każdej liczbie rzeczywistej, odpowiada na osi liczbowej tylko jeden punkt i każdemu punktowi na osi odpowiada tylko jedna liczba rzeczywista. Obejrzyj rozwiązanie: Zbiory liczbowe. Oś liczbowa - definicje, przykłady

volume_up. liczba rzeczywista = en. volume_up. real number. Translations Translator Phrasebook open_in_new. PL.

Podstawa programowa Ministerstwa Edukacji do nowej matury (od 2015 roku) zakłada, że uczeń: przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką); wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia; posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). W tej części kursu przećwiczymy dokładnie wszystkie powyższe nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 .Ułamiki, potęgi i pierwiastkiWzory przydatne w tym dziale znajdziesz w tablicach maturalnych na stronie nr 1. Najważniejsze wiadomości: Ułamki zwykłe dodajemy i odejmujemy sprowadzając do wspólnego mianownika, np.: \[\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{11}{10}\] Ułamki zwykłe można zamienić na dziesiętne (okresowe) dzieląc na kalkulatorze licznik przez mianownik, np.: \[\frac{21}{45} = 21:45 = 0{,}4666666... = 0{,}4(6)\] Wzory do wykonywania działań na potęgach: Definicja potęgi o wykładniku naturalnym \[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}\] Wzory na potęgi o wykładnikach wymiernych \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (\text{dla }a\ne 0)\\[16pt] a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{\tfrac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{-\tfrac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^k}}\quad (\text{dla }a\gt 0)\\[16pt] \] Wzory działań na potęgach \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\[16pt] \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[16pt] a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\\[16pt] \frac{a^n}{b^n}=\left (\frac{a}{b}\right )^n\\[16pt] \left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n} \] Wzory działań na pierwiastkach \[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\\[16pt] \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \] Działania na bardziej skomplikowanych pierwiastkach wykonujemy najczęściej zamieniając pierwiastki na potęgi. \[ \sqrt[n]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\\[16pt] \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\cdot a^{\tfrac{1}{m}}=a^{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} =\frac{a^{\tfrac{1}{n}}}{a^{\tfrac{1}{m}}} =a^{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \] Wartość wyrażenia \(\frac{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}\) jest równa A.\( 1 \) B.\( \frac{1}{2} \) C.\( \frac{1}{12} \) D.\( \frac{1}{72} \) BW tym nagraniu wideo pokazuję jak wykonywać działania na potęgach o wykładniku wymiernym. Przez pierwsze 8 minut nagrania przypominam również zasady wykonywania działań na potęgach o wykładniku nagrania: 30 \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa: A.\(3^{210} \) B.\(3^{300} \) C.\(9^{120} \) D.\(27^{2700} \) ALiczba \(2^{20}\cdot 4^{40}\) jest równa A.\( 2^{60} \) B.\( 4^{50} \) C.\( 8^{60} \) D.\( 8^{800} \) BIloczyn \(81^2\cdot 9^4\) jest równy A.\( 3^4 \) B.\( 3^0 \) C.\( 3^{16} \) D.\( 3^{14} \) CIloraz \(125^5:5^{11}\) jest równy A. \(5^{-6}\) B. \(5^{16}\) C. \(25^{-6}\) D. \(25^2\) DLiczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa A.\( 42^{36} \) B.\( 42^7 \) C.\( 6 \) D.\( 1 \) CLiczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa A.\( 4^4 \) B.\( 20^{16} \) C.\( 20^5 \) D.\( 4 \) DLiczba \(128^{-4}:\left ( \frac{1}{32} \right )^4\) jest równa A.\( 4^{-4} \) B.\( 2^{-4} \) C.\( 2^4 \) D.\( 4^4 \) ALiczba \(\left (\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}} \right )^0\) jest równa A.\( 1 \) B.\( 4 \) C.\( 9 \) D.\( 36 \) ALiczba \( \frac{1}{2}\cdot 2^{2014} \) jest równa A.\(2^{2013} \) B.\(2^{2012} \) C.\(2^{1007} \) D.\(1^{2014} \) ATrzecia część liczby \(3^{150}\) jest równa: A.\( 1^{50} \) B.\( 1^{150} \) C.\( 3^{50} \) D.\( 3^{149} \) DLiczbę \(x=2^2\cdot 16^{-4}\) można zapisać w postaci A.\( x=2^{14} \) B.\( x=2^{-14} \) C.\( x=32^{-2} \) D.\( x=2^{-6} \) BLiczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa: A.\(3^3 \) B.\(3^{\frac{32}{9}} \) C.\(3^4 \) D.\(3^5 \) CLiczba \(\sqrt[3]{{(-8)}^{-1}}\cdot {16}^{\frac{3}{4}}\) jest równa A.\( -8 \) B.\( -4 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \) BLiczbę \(\sqrt{32}\) można przedstawić w postaci A.\( 8\sqrt{2} \) B.\( 12\sqrt{3} \) C.\( 4\sqrt{8} \) D.\( 4\sqrt{2} \) DLiczba \(7^{\frac{4}{3}}\cdot \sqrt[3]{7^5}\) jest równa A.\( 7^{\frac{4}{5}} \) B.\( 7^3 \) C.\( 7^{\frac{20}{9}} \) D.\( 7^2 \) BLiczba \(\sqrt[3]{(27)^{-1}}\cdot 72^0\) jest równa A.\( \frac{1}{3} \) B.\( -\frac{1}{3} \) C.\( 0 \) D.\( 3 \) AWyrażenie \(\sqrt{1{,}5^2+0{,}8^2}\) jest równe: A.\( 2{,}89 \) B.\( 2{,}33 \) C.\( 1{,}89 \) D.\( 1{,}70 \) DLiczba \(\frac{5^3\cdot 25}{\sqrt{5}}\) jest równa A.\( 5^5\sqrt{5} \) B.\( 5^4\sqrt{5} \) C.\( 5^3\sqrt{5} \) D.\( 5^6\sqrt{5} \) BLiczba \(\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{3}\) jest równa A.\( \sqrt[9]{3} \) B.\( \sqrt[18]{3} \) C.\( \sqrt[18]{6} \) D.\( \sqrt{3} \) DWartość wyrażenia \(5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}\) jest równa A.\( 5^{500} \) B.\( 5^{101} \) C.\( 25^{100} \) D.\( 25^{500} \) BWyrażenie \(2\sqrt{50}-4\sqrt{8}\) zapisane w postaci jednej potęgi wynosi A.\( 2^{\frac{3}{2}} \) B.\( 2^{\frac{1}{2}} \) C.\( 2^{-1} \) D.\( 4^{\frac{1}{2}} \) ALiczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa A.\( 2\sqrt{2} \) B.\( 2 \) C.\( 4 \) D.\( \sqrt{10}-\sqrt{6} \) BLiczba \( \left ( \frac{1}{\left (\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2 \right)^0} \right )^{-2} \) jest równa A.\(\frac{1}{225} \) B.\(\frac{1}{15} \) C.\(1 \) D.\(15 \) CLiczba \(\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left (\frac{2}{7} \right)^{-1}}\) jest równa A.\( -1 \) B.\( \frac{4}{49} \) C.\( -2\frac{1}{4} \) D.\( 1 \) DLiczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa A.\( \sqrt[6]{3} \) B.\( \sqrt[4]{3} \) C.\( \sqrt[3]{3} \) D.\( \sqrt{3} \) DLiczbą odwrotną do liczby \(5\frac{3}{11}-2\frac{1}{11}\cdot \sqrt[3]{-8}\) jest A.\( \frac{11}{70} \) B.\( \frac{11}{104} \) C.\( -\frac{11}{104} \) D.\( -\frac{70}{11} \) BLiczba \(0{,}(70)\) jest równa liczbie A.\( \frac{7}{10} \) B.\( \frac{70}{99} \) C.\( \frac{7}{9} \) D.\( \frac{77}{99} \) BW rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{2}{7}\) na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra A.\( 7 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \) DLiczbą większą od zera jest liczba A.\( \frac{1}{3}-0{,}(3) \) B.\( -\sqrt{3}+1\frac{7}{9} \) C.\( 4\frac{2}{3}-4\sqrt{3\frac{1}{16}} \) D.\( -2^2 \) BLicznik pewnego ułamka jest równy \(6\). Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(2\), a mianownik o \(3\), to wartość tego ułamka się nie zmieni. Jaki to ułamek? A.\( \frac{6}{10} \) B.\( \frac{6}{5} \) C.\( \frac{6}{11} \) D.\( \frac{6}{9} \) DJeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.\(\frac{8}{17}\)Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznychWartości wyrażeń arytmetycznych obliczamy podstawiając wartość liczbową do danego wyrażenia, np.: Wartość wyrażenia \(2x-6\) dla \(x=7\) jest równa: \(2\cdot 7-6=14-6=8\). Wartość wyrażenia \((a-1)(a^2+a+1)\) dla \(a=\frac{3}{4}\) jest równa A.\( -\frac{37}{64} \) B.\( \frac{1}{4} \) C.\( -\frac{1}{4} \) D.\( 1\frac{27}{64} \) AWyrażenie \((1 - 2x)^2 - 3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})\) dla \(x = 2\) przyjmuje wartość A.\( 1 \) B.\( 2 \) C.\( 3 \) D.\( -5 \) CWartość liczbowa wyrażenia algebraicznego \((a^2 - 16)(a + 2)\) dla \(a = \sqrt{2}\) wynosi A.\( 56\sqrt{2} \) B.\( 14(\sqrt{2}+2) \) C.\( 56 \) D.\( -14(\sqrt{2}+2) \) DWyrażenie \(\frac{x-1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-1}\) dla \(x=4\) ma wartość A.\( 0 \) B.\( 1\frac{1}{5} \) C.\( \frac{3}{2} \) D.\( 6 \) BWartość liczbowa wyrażenia \(x^3y^2 - y^3x^2\) dla \(x = -1\) i \(y = -2\) wynosi A.\( 0 \) B.\( 4 \) C.\( -4 \) D.\( 12 \) BLogarytmy Najważniejsze wzory: \[\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\] \[\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\] \[n\cdot \log_ab=\log_a(b^n)=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\] \[a^{\log_ab}=b\] \[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\] W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące logarytmów. Pokazuję najprostszą metodę obliczania logarytmów, omawiam wszystkie najważniejsze wzory związane z logarytmami, dziedzinę logarytmu oraz równania i nierówności nagrania: 67 \( \log_8 16+1 \) jest równa A.\(\log_8 17 \) B.\(\frac{3}{2} \) C.\(\frac{7}{3} \) D.\(3 \) CLiczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa A.\( \frac{3}{2} \) B.\( 2 \) C.\( \frac{5}{2} \) D.\( 3 \) DLiczba \( \log 24 \) jest równa: A.\(2\log 2+\log 20 \) B.\(\log 6+2\log 2 \) C.\(2\log 6-\log 12 \) D.\(\log 30-\log 6 \) BLiczba \(2\log 5 +\log 4\) jest równa A.\( 2 \) B.\( 2\log 20 \) C.\( \log 40 \) D.\( 10 \) ALiczba \(2\log_5 10 - \log_5 4\) jest równa A.\( 2 \) B.\( \log_5 96 \) C.\( 2\log_5 6 \) D.\( 5 \) AWartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa A.\( -3 \) B.\( -2\frac{1}{4} \) C.\( -2 \) D.\( 0 \) CWartość wyrażenia \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) jest równa A.\( -1 \) B.\( -2 \) C.\( \log_3\frac{5}{11} \) D.\( \log_3\frac{31}{18} \) ALiczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa A.\( \log_6693 \) B.\( 3 \) C.\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \) D.\( 4 \) BLiczba \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \) jest równa A.\(12 \) B.\(6 \) C.\(9 \) D.\(81 \) DLiczba \( c=\log_{3}2 \). Wtedy A.\(c^3=2 \) B.\(3^c=2 \) C.\(3^2=c \) D.\(c^2=3 \) B

Zatem zbiorem rozwiązań danej nierówności jest przedział . Słownik najmniejsza wspólna wielokrotność danych liczb najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością każdej rozważanej liczby przedział nieograniczony à 4 à 4 Ã Ã Ì 4 à 4 Þ 4 ø 4 à ø 4 Þ ø 4 4 à 4 Þ 4 4 à 4 Þ 4

Co w tym rozdziale ?Liczby rzeczywiste – co to takiego ?Liczby rzeczywiste – przykładyLiczby naturalneLiczby całkowiteLiczby wymierneLiczby niewymierneLiczby parzysteLiczby nieparzysteLiczby przeciwneLiczby odwrotneLiczby pierwszeLiczby złożoneLiczba piNotacja wykładniczaUłamkiProcentyJakim procentem jednej liczby jest druga liczbaUstalenie liczby na podstawie jej procentuProcent składanyPotęgiPierwiastkiNWWNWDUsuwanie niewymierności z mianownikaLogarytmyWartość bezwzględnaRównanie z wartością bezwzględnąNierówności z wartością bezwzględnąZbioryOś liczbowaJak określić współrzędne punktów A,B,C,D,EPodsumowanie Liczby rzeczywiste – co to takiego ? Liczby rzeczywiste jest to zbiór, który składa się z sumy dwóch zbiorów: zbioru liczb wymiernych oraz zbioru liczb rzeczywiste Liczby rzeczywiste – przykłady Zbiór liczb rzeczywistych jest największym zbiorem występującym w matematyce, dlatego też do tego zbioru należy każda liczba np:1,5,9,\frac{5}{7},π, Ogólnie takich liczb jest nieskończenie wiele. Spełniają aksjomat ciągłości, to znaczy, że nie występują luki pomiędzy liczbami na osi liczbowej. Liczby naturalne Liczby naturalne to liczby całkowite, dodatnie:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N. Możemy więc zapisać:N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...\} Liczby całkowite Zbiór liczb całkowitych jest to zbiór liczb naturalnych jak i zbiór liczb przeciwnych do nich, wliczamy tu również liczbę zero. Zatem można zapisać, że liczby całkowite są to:...,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,... Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem = \{...,−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...\} Można wyróżnić zbiór liczb całkowitych dodatnich jak i ujemnych: Liczby wymierne Liczby wymierne to takie liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego:\frac{n}{m} n oraz m są liczbami całkowitymi, należy pamiętać że m musi być różne od 0 (m≠0) Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Liczby niewymierne Liczby niewymierne to takie liczby, które nie można zapisać za pomocą ułamka zwykłego. Liczby te tworzą wraz z liczbami wymiernymi zbiór liczb rzeczywistych R. Przykłady liczb niewymiernych:\sqrt{3}, \sqrt{5}, 3\sqrt{3}, π Liczby parzyste Liczby parzyste to takie liczby całkowite, które dają się podzielić przez dwa bez reszty. Wzór na liczbę parzystą ma postać:2k dla k∈C Przykładami liczb parzystych są:...,-42,−2,0,6,10,18,48,100,180,... Liczby nieparzyste Liczby nieparzyste, to takie liczby całkowite, które nie dają się podzielić przez dwa bez reszty. Resztą z dzielenia jest jeden. Ogólny wzór na każdą liczbę parzystą jest więc następujący:2k+1 dla k∈C Co ciekawe suma dwóch liczba nieparzystych będzie liczba parzystą, natomiast iloczyn dwóch liczb nieparzystych będzie liczbą nieparzystą. Przykłady liczb nieparzystych:...,−13,−1,1,9,17,33,101,... Liczby przeciwne Liczby przeciwne, to dwie takie liczby, których suma wynosi zero. Najprościej mówiąc jedna liczba jest do drugiej przeciwna, jeśli ma taką samą wartość, lecz przeciwny znak. Przykłady liczb przeciwnych:Liczba 1 jest przeciwna do −1, gdyż 1+(−1)=0Liczba \frac{1}{3} jest przeciwna do -\frac{1}{3}, gdyż \frac{1}{3}+(-\frac{1}{3})=0Liczba −π jest przeciwna do π, gdyż −π+π=0 Liczby odwrotne Liczba odwrotna do danej liczby a, to taka liczna b, że a∗b=1. Jeszcze prościej mówiąc: Liczba odwrotna do liczby a, to liczba \frac{1}{a}, gdyż a∗\frac{1}{a}=1. Przykłady:Liczba odwrotna do liczby 3, to \frac{1}{3}, gdyż 3∗\frac{1}{3}=1Liczba odwrotna do liczby \frac{7}{8}, to \frac{8}{7}, gdyż \frac{7}{8}∗\frac{8}{7}=1Liczba odwrotna do liczby \sqrt{3}, to \frac{1}{\sqrt{3}}, gdyż \sqrt{3}∗\frac{1}{\sqrt{3}}=1 Liczby pierwsze Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od jeden, które dzielą się tylko przez jeden i samą siebie. Zbiór liczb pierwszych w przedziale od 1 do 100 jest następujący:x∈\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97\} Liczby złożone Liczby złożone to liczby naturalne większe od jeden, które mają więcej niż dwa dzielniki. W związku z tym każda liczba większa od jeden nie będąca liczbą pierwszą jest liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych:4,6,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,... dlatego, że:4=2∗26=3∗29=3∗310=5∗212=6∗2=3∗2∗2 Liczba pi Liczba π, to liczba wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy. Liczba π w przybliżeniu jest równa:π≈3,1415926536.... Liczba π jest liczbą niewymierną i przestępną. Notacja wykładnicza Aby zapisać liczbę w notacji wykładniczej musimy skorzystać ze wzoru:a⋅10^n gdzie: a – jest to liczba rzeczywista z przedziału 0) Wzory działań na potęgacha^m⋅a^n=a^{m+n} \frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} a^n⋅b^n=(a⋅b)^n \frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n (a^m)^n=a^{m⋅n} Pierwiastki Pierwiastkowanie liczb jest to działanie arytmetyczne odwrotne do potęgowania. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby nieujemnej a, to taka liczba nieujemna b, która spełnia następującą równość b^n=a. Pierwiastek zapisujemy symbolem \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{a}=b⇔b^n=a gdzie: a – liczba pierwiastkowana, n – stopień pierwiastka, b – pierwiastek n-go stopnia z liczby a – wynik pierwiastkowania. Wzory działań na pierwiastkach\sqrt{a}*\sqrt{b} = \sqrt{a*b}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\sqrt{a^2} = |a| NWW Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) jest związana tylko z liczbami naturalnymi. Jest to taka najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez te dowolne liczby naturalne. Najmniejsza wspólna wielokrotność najczęściej używana jest w znajdowaniu wspólnego mianownika. Przykład: Mając liczby 3 i 4 można wypisać ich wielokrotności w następujący sposób: wielokrotności liczby 3 – 3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;33;36;⋯, wielokrotności liczby 4 – 4;8;12;16;20;24;28;32;36;⋯, Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest najmniejsza z zaznaczonych liczb czyli 12. NWW(3;4)=12 Jak obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność? Obie liczby należy rozłożyć na czynniki pierwsze, następnie zakreślić czynniki, które się powtarzają w obu rozkładach, potem bierzemy pierwszą liczbę i czynniki niezakreślone z drugiego rozkładu i mnożymy przez siebie. 12 | (2) 6 | 2 3 | (3) 1 | 30 |(2) 15 |(3) 5 | 5 1 | NWW(12;30) = 12 * 5 = 60 lub NWW(12;30) = 30 * 2 = 60 NWD Największy wspólny dzielnik (NWD) – jest to liczba naturalna, przez którą można podzielić dowolną parę liczb całkowitych, tak aby z dzielenia nie została reszta. Jak znajduje się największy wspólny dzielnik? Mając dwie liczby, rozkładamy je na czynniki pierwsze, potem wybieramy te, które się powtarzają w obu liczbach i mnożymy je przez siebie. Przykład: NWD(54; 36): 54 | (2) 27 | (3) 9 | (3) 3 | 3 1 | 36 | (2) 18 | 2 9 | (3) 3 | (3) 1 | NWD(54; 36) = 2 * 3 * 3= 18 Usuwanie niewymierności z mianownika Usuwanie niewymierności z mianownika – jest to proces polegający na usunięciu pierwiastków z mianownika ułamka. Najczęściej wykonujemy to mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę. Najlepszy będzie przykład:\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2*\sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} Logarytmy Logarytm – przy podstawie a z liczby b oznacza taką liczbę c, będącą potęgą, do której podstawa logarytmu a musi być podniesiona, aby dać liczbę logarytmowaną b, czyli:log_ab=c⇔a^c=b Logarytm dziesiętny – to taki logarytm, którego podstawą jest liczba 10. W zapisie logarytmu dziesiętnego pomija się podstawę logarytmu, zapisując log_x lub lg_x, co jest równoznaczne z log_{10} Logarytm naturalny – to taki logarytm, którego podstawą jest liczba e równa w przybliżeniu 2,718281828. Logarytm naturalny zapisujemy jako lnx, co jest równoznaczne z wzory: Jeżeli a>0,a≠1,b>0 oraz c>0, to:log_ab+log_ac=log_a(b⋅c)log_ab−log_ac=log_a(\frac{b}{c})n⋅log_ab=log_a(b^n)=log_{a^{\frac{1}{n}}}ba^{log_ab}=blog_ab=\frac{log_cb}{log_ca} Wartość bezwzględna Wartością bezwzględną – dowolnej liczby rzeczywistej x jest: – ta sama liczba rzeczywista x, gdy x≥0 – liczba −x (przeciwna do x), gdy x. W obu przypadkach domykamy nawiasy ze względu na znak mniejszy-równy (≤) oraz więszky-równy(≥). Zbiory Zbiór – to pewna całość złożona z pewnej ilości obiektów, tymi obiektami mogą być liczby całkowite, książki na regale, buty w szafce i wiele innych. Zbiory oznaczamy zawsze wielkimi literami alfabetu. Każdy zbiór składa się z elementów, elementy oznaczamy małymi literami. Wyjątkiem jest zbiór pusty, który nie zawiera żadnego elementu. Przykłady zbiorów:Suma zbiorów – A∪BSuma zbiorówIloczyn zbiorów – A∩BIloczyn zbiorówRóżnica zbiorów – A\BRóżnica zbiorów A\BRóżnica zbiorów – B\ARóżnica zbiorów B\AZbiór – AZbiór AZbiór – BZbiór BZbiór pusty – A∩B = ØZbiór pusty Własności zbiorów: – przemienność sumy zbiorów A ∪ B = B ∪ A – łączność sumy zbiorów (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) – rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – przemienność iloczynu zbiorów A ∩ B = B ∩ A – rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – łączność iloczynu zbiorów (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) – prawa de Morgana dla zbiorów (A ∪ B)' = A' ∩ B' oraz (A ∩ B)' = A' ∪ B' Oś liczbowa Prostą, na której obrano punkt zerowy, jednostkowy (odległość między punktem zerowym a jednostkowym jest równa 1) oraz jeden ze zwrotów tej prostej uznano za dodatni nazywamy osią liczbową. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Liczbę x przyporządkowaną punktowi P na osi liczbowej nazywamy współrzędną punktu P na tej rzeczywiste – wykres Jak określić współrzędne punktów A,B,C,D,E Ponieważ punkt E jest oddalony od punktu zerowego o dwie i pół jednostki w kierunku osi liczbowej, jego współrzędna wynosi 2,5. Punkt C jest oddalony o jedną jednostkę (współrzędna zatem jest równa 1). Punkt B (podobnie jak punkt C) jest również oddalony od punktu zerowego o jedną jednostkę, ale w stronę przeciwną niż wynosi zwrot osi liczbowej, współrzędną punktu B jest zatem liczba -1. Współrzędna punktu A jest liczba -2, a punktu D liczba 0,5. Nasuwa się pytanie czy zero jest liczbą rzeczywistą? Tak, zero jest liczbą rzeczywistą. Należy przy tym także do zbioru liczb wymiernych, całkowitych i naturalnych (w zależności od przyjętej umowy). Wykonalność działań w zbiorze liczb rzeczywistych W zbiorze liczb rzeczywistych wykonalne są wszystkie podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, za wyjątkiem dzielenia przez zero. Podsumowanie Jest to największy zbiór występujący w matematyce, można go znaleźć w każdym dziale matematyki jaki poznajemy w szkole. Umiejętność wykorzystywania znajomości rozróżniania zbiorów przydaje się w dalszych etapach kształcenia. W ramach przyswojenia nowej wiedzy gorąco zapraszam do zapoznania się z zadaniami również:Zadania zamknięteĆwiczenia krótkiej odpowiedziZadania otwarte

Kresy dolny i górny. Kres (kraniec) dolny, infimum ( łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum ( łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w Odpowiedzi Liczby rzeczywiste to jeden z najważniejszych zbiorów w całej matematyce. Intuicyjne ich definicja jest dość prosta - liczbą rzeczywistą utożsamiamy z odegłóścią na zauwarzyć że zarówno zbiór liczb naturalnych jak i całkowitych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych ( zwyczajowo określanym dużą literką R). W pewnych przypadkach odległość może przecież być równa jedności, lub wielokrotności wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Liczby niewymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R. Liczb niewymiernych nie można przedstawić w postaci ułamka: EKSPERTHerhor odpowiedział(a) o 22:35 Uwagi cztery:a) Liczby naturalne to liczby całkowite od 1, a nie od 0. 0 nie jest liczbą naturalną.(patrz np. W. Sierpiński: Teoria Liczb rozdz. I)b) Nie ma liczb "wymierzalnych" tylko WYMIERNEc) Liczby rzeczywiste są to wszystkie możliwe GRANICE CIĄGÓW liczb wymiernych. Niektóre z tych granic są też wymierne, ale w większości niewymierne są dwóch rodzajów: algebraiczne (które są miejscami zerowymi wielomianów o wsp. wymiernych) i niealgebraiczne czyli przestępne, jak pi czy eNo i warto dodać, że zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych... Herhor-przepraszam za błędy, lecz co do zera to wbrew nazwie należy do całkowitych-tu też przepraszam, że napisałem o naturalnych. Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych. Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub Kliknij tutaj, 👆 aby dostać odpowiedź na pytanie ️ Wskaż nierówność, którą spełnia każda liczba rzeczywista nikis00 nikis00 22.10.2021

Zbiór liczb rzeczywistych jest to suma zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych: . Przykłady liczb rzeczywistych Przykładem liczby rzeczywistej jest dowolna liczba wymierna lub niewymierna. Są to więc liczby: 0, 1, 12347593, -4564, 1/2, π, √2, √5, 1-2√2, podstawa logarytmu naturalnego i wiele innych liczb. Takich liczb jest nieskończenie wiele. Co więcej, liczb rzeczywistych między dwiema liczbami naturalnymi, na przykład 0 i 1 również jest nieskończenie wiele. Liczby rzeczywiste spełniają aksjomat ciągłości. Mówiąc bardzo obrazowo oznacza to, że nie ma luk między liczbami na osi liczbowej. Co to jest oś liczbowa? Na to pytanie odpowiadamy niżej. Oś liczbowa Prostą, na której obrano punkt zerowy, jednostkowy (odległość między punktem zerowym a jednostkowym jest równa 1) oraz jeden ze zwrotów tej prostej uznano za dodatni nazywamy osią liczbową. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Liczbę x przyporządkowaną punktowi P na osi liczbowej nazywamy współrzędną punktu P na tej osi. Przykład Oto jak określić współrzędne punktów A,B,C,D oraz D. Ponieważ punkt D jest oddalony od punktu zerowego o dwie jednostki w kierunku osi liczbowej, jego współrzędna wynosi 2. Punkt E jest oddalony o jednostki (współrzędna zatem jest równa Punkt A (podobnie jak punkt D) jest również oddalony od punktu zerowego o 2 jednostki, ale w stronę przeciwną niż wynosi zwrot osi liczbowej, współrzędną punktu A jest zatem liczba -2. Współrzędna punktu B jest liczba -1, a punktu C liczba -1/2. W zbiorze R określone są relacje: nierówności ">" oraz "<" nazywane mocnymi (ostrymi), nierówności: "≥" (większe lub równe) oraz "≤" (mniejsze lub równe) nazywane słabymi (nieostrymi) oraz znak równości "=". Pytania Czy 0 jest liczbą rzeczywistą? Tak, zero jest liczbą rzeczywistą. Należy przy tym także do zbioru liczb wymiernych, całkowitych i naturalnych (w zależności o przyjetej umowy). Czy w zbiorze liczb rzeczywistych istnieje taka liczba, która nie jest ani liczbą wymierną, ani liczbą niewymierną? Nie. Ponieważ zbiór R jest sumą zbioru liczb wymiernych i niewymiernych, nie ma w nim innych interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania zagadnienia z tej lekcjiLiczby naturalneLiczba naturalna jest to liczba ze zbioru N={0,1,2,3,4,...}Liczby całkowiteLiczba całkowita jest to liczba ze zbioru C={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...}Liczby wymierneCo to są liczby wymierne, co to jest ułamek zwykły i ułamek dziesiętny? Skracanie ułamków niewymierneCo to są liczby niewymierne?Kres górny i kres dolny zbioruCo to jest kres górny i kres dolny, zbiór ograniczony z góry i z dołu?Przedziały liczboweCo to są przedziały liczbowe? Działania na przedziałach wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej quizyOś liczbowaSzkoła podstawowaKlasa 4Liczba pytań: 10Oś podstawowaKlasa 4O ile różnią się liczby? podstawowaKlasa 5© 2008-10-18, ART-88 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością jednej i drugiej liczby. Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności Jednym ze sposobów na znalezienie NWW dwóch (lub więcej) liczb jest wypisanie list wielokrotności tych liczb tak długich, aż znajdzie się

Liczby rzeczywisteTu jesteś > Liczby > Rodzaje liczb > Liczby rzeczywiste Każda liczba jest liczbą rzeczywistą. Więc, zbiorem liczb rzeczywistych są wszystkie liczby - wymierne oraz niewymierne. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem $\Bbb{R}$. Liczbami rzeczywistymi są przykładowe liczby: $$1,\sqrt{3},-7,\frac12,\pi,-\sqrt{13}$$

Wykażemy, że rozwiązaniem nierówności 3 x-1 3 x + 1-8 x 2 > x-3 2-10 jest każda dodatnia liczba rzeczywista. 3 x - 1 3 x + 1 - 8 x 2 > x - 3 2 - 10 Wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.

uHVCRhF.